1:a plats, nationella kategorin
Sakke Suomalainen
Mohr-Mascheronis sats inom den tredimensionella passare-linjalgeometrin
Hela bidraget
Sakke Suomalainen,18, studerar vid gymnasiet Helsingin matematiikkalukio.
Sakke diskuterade på våren 2010 med sin lärare Ville Tilvis om ett lämpligt ämne för sin studie. Läraren föreslog att han skulle undersöka någonting i anslutning till passare-linjalgeometrin. Därefter surfade Sakke på internet bland olika matematiska ämnen. ”Jag fastnade för Mohr-Mascheronis sats och tänkte att det kunde vara intressant. Lite senare kom jag på idén att tillämpa passare-linjalgeometrin på klot och plan i min studie. Jag arbetade i huvudsak hemma med papper och penna och framför datorn.”
Passare och linjal har från första början varit centrala redskap inom geometrin. Trots att det finns en hel del forskning om ämnet märkte Sakke att redskapen tidigare hade behandlats främst i plan. Enligt Mohr-Mascheronis sats (bevisad 1672) kan alla konstruktioner som är möjliga med passare och linjal konstrueras utan linjal. Sakke presenterar i sin studie en enkel bevisning för satsen och formulerar en tredimensionell motsvarighet till denna. Inom den tredimensionella passare-linjalgeometrin används plan och klot i stället för linjer och cirklar, vilket resulterar i skärningsfigurer bestående av också annat än punkter. Skribenten försöker bevisa satsen i tre dimensioner genom att analogt följa bevisningen i två dimensioner. I takt med att studien framskred fick skribenten problem med att fördubbla en sträcka med enbart klot. Han tvingades därför komplettera bevisningen med hypotesen att en enda linje är känd i rymden. Med hjälp av detta tilläggsvillkor kan satsen generaliseras i tre dimensioner.
Utvärderarnas kommentarer
Enligt utvärderarna är det fråga om ett arbete inom klassisk geometri som har krävt kreativitet på hög nivå av skribenten. Arbetet består av två delar. För det första utreder skribenten en särskild bevisning av Mohr-Mascheronis klassiska sats om plangeometri. För det andra presenteras i anslutning till denna bevisning ett helt nytt resultat i form av en tredimensionell motsvarighet inom rymdgeometrin. Redan att behandla den ursprungliga, inte helt enkla bevisningen, är en relativt svår uppgift. Att skribenten på basis av denna skapat ett nytt resultat utifrån sin egen ursprungliga hypotes, som han utvecklat till en exakt bevisad sats, är en mycket krävande uppgift som kan jämföras med en yrkesmatematikers forskning.
Studiens bakgrund, frågeställning och mål har framställts på ett utmärkt sätt och materialet är välavvägt. Det är beaktansvärt att skribenten på webben har hittat en modern bevisning av Mohr-Mascheronis ursprungliga sats som är mycket enklare och därigenom mer ändamålsenlig med tanke på den tredimensionella generaliseringen än den bevisning som presenterats i den finska läroboken och som utgjort skribentens källa. Skribenten har använt ändamålsenliga metoder.
Arbetets resultat har presenterats tydligt, på ett sätt som påminner om facklitteratur i branschen. Resultatet, dvs. generaliseringen av Mohr-Mascheronis sats i tre dimensioner, är imponerande. Dessutom presenteras i arbetet en synnerligen naturlig och intressant matematisk hypotes, dvs. konjektur.
Skribenten behärskar på ett utmärkt sätt den matematiska bevisning från vilken slutledningarna härletts. De abstrakta resultaten som bevisats med hjälp av matematiska slutledningsprinciper är fullständigt tillförlitliga.
Det är fråga om ett utmärkt arbete som till alla delar kan jämföras med en forskningsartikel av en yrkesmatematiker. Resultatet har mycket realistiska möjligheter att publiceras i en matematisk facktidning. Ett förträffligt arbete!
Sakkes intressen: Schack, Krav Maga, bouldering, läsning