Pilvet eivät ole palloja, mutta matematiikka on kaunista

27.6.2016

Eulerin identiteetti hyppää silmille heti hissien vieressä Helsingin yliopiston Kumpulan kampuksella olevan Exactum-rakennuksen kolmannen kerroksen seinällä. Kyseessä on vihreällä maalattu suurikokoinen, yksinkertainen matemaattinen kaava, jota kutsutaan usein kaikkein kauneimmaksi matematiikan kaavaksi. 

Matematiikkaa tuntevalle se on vain omituinen suttu, mutta akatemiaprofessori Antti Kupiaisen kaltainen henkilö huokaa syvään sen nähdessään. Syynä tosin ei ole vain kaavan niin sanottu kauneus, vaan myös se, että siihen sisältyy paljon suomalaista matematiikan historiaa: kaava kun liittyy läheisesti kompleksianalyysiin, eli funktioteoriaan, jonka tutkimuksessa on pitkät perinteet. 

Kompleksilaskenta innostui ensimmäisenä 1900-luvun alussa Helsingin yliopiston silloinen matematiikan professori Ernst Lindelöf, ja hänen jälkeensä sen parissa ovat viihtyneet niin kuuluisa Rolf Nevanlinna kuin ainoana suomalaisena Fieldsin mitalin – matematiikan Nobelin – saanut Lars Ahlfors

Antti Kupiainen jatkaa nyt heidän jalanjäljissään. Tarkalleen ottaen hän on Helsingin yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitoksen matematiikan professori ja johtaa tällä haavaa Suomen Akatemian rahoittamaa Analyysin ja dynamiikan huippuyksikköä.

Teoriaa, jolla on suora kosketus oikeaan maailmaan

Huippuyksikkö koostuu yhdeksästä monitieteellisestä ryhmästä, jotka tutkivat puhdasta matematiikkaa ja sen sovellutuksia erityisesti fysiikkaan ja biologiaan. Niinpä ei ole ihme, että juttutuokiomme aluksi Kupiainen haluaa heti selventää pelin hengen. 

"Se, mitä me täällä teemme, on matematiikan perustutkimusta, eli varsin teoreettista ja akateemista työtä. Sillä on kuitenkin usein hyvinkin suorat ja konkreettiset yhteydet arkipäivän sovelluksiin." 

Yleensähän matemaatikot mielletään käytännön maailmasta täysin irrallaan oleviksi, omassa teoreettisessa maailmassaan eläviksi pohdiskelijoiksi, mutta Kupiaiselle matematiikka on hyvinkin konkreettista.

"On vaikea kuvitella mitään sellaista, mihin ei liity matematiikkaa. Kaikkiin laitteisiin liittyy matematiikkaa ja käytännössä kaikkien laitteiden ja tuotteiden tekemiseen tarvitaan fysikaalisia ja kemiallisia prosesseja, joiden ymmärtämiseen vaaditaan matematiikkaa."

Kupiaisen ryhmän tutkimusala on tästä erinomainen esimerkki. 

"Turbulenssi on varmasti kaikille tuttu asia. Se on nesteiden ja kaasujen kaoottista, monimutkaista liikettä, jonka perusyhtälöt löydettiin jo 200 vuotta sitten. Niiden avulla voidaan periaatteessa ennustaa ja laskea niin koskien kuohut kuin lentokoneen hyppiminen ilmakuopissa, mutta käytännössä näillä kaavoilla on niin monimutkaisia ratkaisuita, että tarkan vastauksen saaminen on mahdotonta. Sen sijaan on tärkeää, että ymmärrämme ilmiöt matemaattisesti."

Samoja kaavoja käyttämällä voidaan muun muassa mallintaa saasteiden leviämistä pohjavesissä. 

"Se on luonnollisesti kiinnostava ja tärkeä asia, mutta emme suinkaan olleet kiinnostuneita alun perin siitä, miten pohjavedet liikkuvat ja sekoittuvat, vaan yksinkertaisesti siitä, että turbulenttisen virtauksen yhtälöt ovat erittäin kauniita. Halusimme ymmärtää, miten kaavat toimivat ja millaisia ratkaisuita niillä voi olla. Käytännön hyöty tulee ikään kuin bonuksena."

Fraktaaleilla kvanttifysiikkaan

Sana ‘kauneus’ toistuukin yhtenään Kupiaisen puheessa – eikä hän ole ainoa matemaatikko, joka korostaa kauneutta. 

Vaikka matematiikan ‘kauneus’ on enemmän kuin vain visuaalisuutta, on sen lähtökohtana kuitenkin paljain silmin hahmotettava geometria. Sehän on ollut perinteisesti kauneuden tutkimusta. Noin kahden vuosituhannen ajan matemaatikot olivat puuhastelleet erilaisten tahokkaiden, tetraedrien ja muiden geometristen, koko ajan haastavammiksi muuttuneiden ongelmien kanssa, kunnes 1970-luvun alussa amerikkalaistunut ranskalaismatemaatikko Benoît Mandelbrotalkoi puhua niin sanotuista fraktaaleista.

Mandelbrot totesi, että ‘pilvet eivät ole palloja, rantaviivat ympyröitä, eivätkä salamaniskut ole suoria viivoja’, mutta niillä kaikilla on samankaltaisia piirteitä. Hänen mukaansa luonnossa kaikki on kuin sotkua, mutta samalla kaikissa sen ilmiöissä on säännönmukaisuutta: kaikki pilvet näyttävät pilviltä, vaikka jokainen on erilainen.

Sitä voi kutsua myös kauneudeksi, etenkin kun fraktaalikaavoista voi piirtää kauniita rakenteita, joissa sisäkkäiset kuviot toistuvat ja toistuvat.

"Fraktaaleissa paljastuu ikään kuin maailma, missä on lainalaisuuksia piilossa. Niissä on järjestystä kaaoksen keskellä. Kun sitä tutkii, niin tuntuu jälleen siltä, että on tekemisissä jonkun kauneuden kanssa."

Tämä liittyy myös Kupiaisen työhuoneen liitutaululla olleisiin kaavoihin. Juuri haastattelun aikaan hän oli uppoutunut pohtimaan kvanttimekaniikan kaoottisuutta niin sanottujen kvanttipisteiden kokeissa, joita oltiin tehty  Aalto-yliopistossa Jukka Pekolan tutkimusryhmässä. Kupiaisen tiimi vastaa havaintojen matemaattisesta mallintamisesta.

"Tässäkin takana on erittäin kaunis rakennelma, kvanttimekaniikka."

Siitä Kupiainen voisi puhua pitkäänkin, sillä hän on koko uransa ajan liikkunut fysiikan ja matematiikan rajapinnalla. Hän on ollut fysiikan laitoksella ja matematiikan laitoksella sen mukaan, missä hankkeessa on ollut mukana, mutta hänen lähestymistapansa on ollut aina matemaattinen.

"En ole kuitenkaan ollut koskaan kiinnostunut matematiikasta sinällään, vaan siitä miten se liittyy todelliseen maailmaan. Kvanttifysiikkaa tai suhteellisuusteoriaa ei voi ymmärtää ilman matematiikkaa."

Tästä erinomainen esimerkki on kvanttifysiikan ja suhteellisuusteorian yhdistävä painovoiman kvanttiteoria, jonka mukaan painovoima ei ole vain avaruuden kaarevuutta – kuten Einstein sanoi – vaan myös mikromaailman ilmiöitä.

"Avaruuden geometria on satunnaista, geometria fluktuoi", innostuu Kupiainen huomauttaen, että Einstein kehitti aikanaan suhteellisuusteorian liikeyhtälöt teoreettisesti lähes täysin esteettisten kriteerien perusteella, eli niiden kauneuden perusteella, mutta niiden huimin todistus, gravitaatioaaltojen löytyminen, on mitä suurimmissa määrin konkreettinen löytö.

"Löydetyt gravitaatioaallot olivat syntyneet kahden toisiaan lähes valon nopeudella kiertävän muistan aukon törmäyksessä, ja on ollut valtava teoreettinen haaste selvittää minkä muotoinen signaali törmäyksestä tulee. Siinä on suuri määrä epälineaarisia vaikeita yhtälöitä, joita voidaan ratkaista vain tietokoneilla, minkä lisäksi on vaadittu kattava tilastollinen analyysi siitä millaiset muut ilmiöt voisivat saada aikaan samanlaisen signaalin. Voi vain toivoa, että analyysi on onnistunut!"

Miksi matematiikkaa vihataan?

Kupiaisen innostunutta selitystä kuunnellessa ei voi kuin ihmetellä sitä, miksi monet pitävät  matematiikkaa niin epäkiinnostavana. Jo koulussa yleensä oppilaat jakautuvat kieli-ihmisiin ja heihin, jotka ovat enemmän matemaattisia, ja jakolinjat pysyvät sen jälkeenkin selvinä. 

"Suurin syy tähän lienee se, että matikka mielletään mekaaniseksi puuhaksi. Matematiikka on varmasti tavattoman vaikeaa, jos sitä koettaa hahmottaa ulkoa opiskelemalla, mutta hyvin helppoa, kun sen ymmärtää. Jos on opetellut kaikki kaavat ulkoa ja unohtaa yhdenkin pienen asian, niin se tuhoaa koko rakennelman. Mutta kun on ymmärtänyt, niin virheen näkee heti."

Matemaatikot yleensä sanovat olevansa kiinnostuneita matematiikasta siksi, että heistä on kiinnostavaa ymmärtää ja löytää matematiikan kielessä olevia rakenteita. 

"Jos koulussa ei koe koskaan heureka-hetkeä, eli tajua miten jokin asia toimii, niin matematiikka koetaan varmasti hyvin tylsäksi ja jäykäksi. Se on vähän kuin koettaisi puhua kiinaa ilman, että ymmärtää sen kieliopista tai merkeistä mitään."

Paitsi että matematiikan merkit ja kielioppi ovat paljon helpompia – ja ne ovat onneksi yleismaailmallisia.

Teksti, kuvat, video: Jari Mäkinen

Viimeksi muokattu 27.6.2016
Seuraa meitä:
FacebookSlideshareTwitterYoutube
VAIHDE 029 533 5000
KIRJAAMO 029 533 5049
FAKSI 029 533 5299
   
SÄHKÖPOSTI etunimi.sukunimi@aka.fi
AUKIOLO Arkisin 8.00-16.15
   
HENKILÖHAKU »
YHTEYSTIEDOT, LASKUTUS  JA
REKISTERISELOSTEET»
KYSYMYKSET JA PALAUTE »