1.sija, Kansallinen sarja

Sakke Suomalainen

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Kilpailutyö

18-vuotias Sakke Suomalainen opiskelee Helsingin matematiikkalukiossa.

Sakke keskusteli keväällä 2010 opettajansa Ville Tilviksen kanssa sopivasta tutkielman aiheesta. Opettaja ehdotti aiheeksi jotain harppi ja viivain -geometriaan liittyvää. Tämän jälkeen Sakke selaili internetistä kaikenlaista matematiikkaan liittyvää. ”Silmiini sattui Mohrin-Mascheronin lause ja mietin, että saisiko tästä jotain hienoa. Hetkeä myöhemmin sain ajatuksen pallojen ja tasojen soveltamisesta harppi-viivaingeometriaan ja tutkielman aihe oli siinä. Tein kilpailutyön pääasiassa kotona kynän ja paperin tai tietokoneen äärellä.”

Harppi ja viivain ovat olleet keskeisiä välineitä geometriassa sen alkuajoista saakka. Tutkimuksen määrästä huolimatta Sakesta kuitenkin vaikutti siltä, että niitä on käsitelty aiemmin vain tasossa. Mohrin-Mascheronin lauseen (todistettu vuonna 1672) mukaan kaikki harpilla ja viivaimella mahdolliset konstruktiot voidaan tehdä ilman viivainta. Sakke esittää tutkielmassaan tälle lauseelle yksinkertaisen todistuksen sekä muotoilee sille kolmen ulottuvuuden vastineen. Kolmen ulottuvuuden harppi-viivaingeometriassa käytetään tasoja ja palloja suorien ja ympyröiden sijaan, mikä johtaa siihen, että leikkauskuvioiksi muodostuu muutakin kuin pisteitä. Kolmen ulottuvuuden lause pyritään todistamaan seuraamalla analogisesti kahden ulottuvuuden todistusta. Tutkimuksen edetessä janan kahdentaminen pelkillä palloilla muodostui ongelmaksi. Näin todistukseen täytyi lisätä olettamus siitä, että avaruudessa on tunnetaan yksi suora. Tätä lisäehtoa käyttäen lause yleistyy kolmeen ulottuvuuteen.

Arvioijien kommentit

Arvioijien mukaan kyseessä on klassisen geometrian työ, joka on edellyttänyt tekijältään korkeatasoista luovuutta. Työ koostuu kahdesta osasta. Ensinnäkin käydään läpi tasogeometriaan liittyvän klassisen Mohrin Mascheronin lauseen eräs todistus. Toiseksi esitetään tälle tulokselle kolmiulotteisen avaruusgeometrian vastine, joka on täysin uusi tulos. Jo alkuperäisen, ei aivan yksinkertaisen todistuksen käsittely on kohtuullisen haastava tehtävä. Tämän pohjalta kehitetyn uuden tuloksen rakentaminen tekijän omasta alkuperäisestä hypoteesista tarkasti todistetuksi lauseeksi on ollut erittäin vaativa tehtävä, joka vastaa luonteeltaan ammattimatemaatikon tutkimustyötä.

Tutkimuksen tausta, kysymyksenasettelu ja tavoitteet on esitetty erinomaisesti. Tutkimusaineisto on valittu hyvin. Huomionarvoista on, että tekijä on löytänyt Internetistä alkuperäiselle Mohrin-Mascheronin lauseelle modernin todistuksen, joka on selvästi yksinkertaisempi ja siten kolmeulotteista yleistystä ajatellen käyttökelpoisempi kuin lähteenä olleessa kotimaisessa oppikirjassa hahmoteltu todistus. Käytetyt menetelmät ovat tarkoituksenmukaisia.

Työn tulokset on esitetty erittäin selkeästi, kuin alan ammattikirjallisuudessa. Tulokset, eli Mohrin ja Mascheronin lauseen yleistys kolmeen ulottuvuuteen on vaikuttava. Lisäksi työssä esitetään varsin luonnollinen ja mielenkiintoinen matemaattinen väite eli konjektuuri.

Kirjoittaja hallitsee erinomaisesti matemaattisen todistamisen, joka on muodostettujen johtopäätösten takana. Matemaattisten päättelysääntöjen mukaan todistetut abstraktit tulokset ovat täysin luotettavia.

Kaikilta osa-alueiltaan erinomainen työ, joka on verrattavissa ammattimatemaatikon tutkimusartikkeliin. Tuloksella onkin hyvin todennäköiset mahdollisuudet tulla julkaistuksi jossakin matematiikan ammattilehdessä. Hieno työ!

Saken harrastukset: Shakki, Krav Maga, boulderointi, lukeminen